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解答

2日と少し経ったので解答を。

正2010角形の頂点のうち、異なる3点を結んでできる
三角形の中で、内角がすべて整数度となるものの
数を答えよ。
ただし回転して一致する三角形も別々に
数えるものとする。

でしたね問題は。便宜上、αコンビネーションβをαCβと
書きます。

<解答>
正2010角形の外接円の中心をO、頂点の一つをA、
点Aから時計回りに正2010角形の外接円上を移動したとき、
n番目に出会う頂点をB、AでもBでもない頂点で、
∠AOBの外部の頂点の一つをQとする。
ただしnは2010より小さい自然数。

∠AQB=∠AOB÷2
=360n°/2010×2
=6n°/67
67は素数なので、nの値を2、3・・・と増やしていくと
初めて整数度になるのはn=67のとき。
よってnが67の倍数のとき、
∠AQBは整数度になる。

ここで2010/67=30
よって正30角形の頂点のうち、異なる3点を結んでできる
三角形は、内角がすべて整数度となる。
30C3=4060
これによってできる三角形と同じものが正2010角形上には
67個ずつあるので、求める数は
4060×67=272020(個)

と、いうわけで272020個が正解でした~。
正解しても何も出ません。
ビートたけし先生は4060という所まで求めました。
多分彼は時間があれば解きましたね。

不的な表現や分からない所等があったら
指摘してください。
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とある魔術の禁書目録やけいおん!等が好き。
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